分形是自然界中非常美丽的自相似现象的数学抽象。例如希尔伯特曲线以及科赫曲线就是其中比较有名的代表。

小学参加NOIP的时候曾遇到过另外一个著名的谢尔宾斯基三角形，当时的题目是让我们用Logo语言绘制一个谢尔宾斯基三角形，当时我就懵了。画二叉树的递归已经够让我头疼了，现在又要搞一个更复杂的图形。直至比赛后看了参考答案，依旧是一头雾水。所以对此事一直念念不忘，等到中学时代慢慢理解了递归思想后，终于搞明白了。

后来在学习 Generative Art 的时候发现了递归以外的另一种描述分形的方法叫 L-System，它是一种很有趣的迭代方法。

Lindenmayer系统，简称L系统，是由荷兰Utrecht大学的生物学和植物学家，匈牙利裔的林登麦伊尔（Aristid Lindenmayer）于1968年提出的有关生长发展中的细胞交互作用的数学模型，尤其被广泛应用于植物生长过程的研究。L-system是一系列不同形式的正规语法规则，多被用于植物生长过程建模，但是也被用于模拟各种生物体的形态。此外 L-system 也能用于生成自相似的分形，例如迭代函数系统。
wikipedia

¶实践

L-system 用几个简单的基本概念来描述分形的生长过程：

G＝{V,S,ω,P}

• V 变量符号集合
• S 常量符号集合
• ω 初始状态
• P 产生式规则

变量是在迭代过程中会成长变化的符号，常量是在迭代过程中不会变化的符号。初始状态也被称为公理，在植物世界里相当于"种子"。产生式规则简称规则，用来描述变量在每次迭代过程中的变化规则。

¶藻类

维基百科上有个比较好理解的例子，描述一种藻类的生长过程：

变量: A,B; 常量: 无; 公理:A 规则:

• A → AB
• B → A

在系统一开始的时候，我们有公理，也就是藻类的种子：

A

一个生命周期后，根据规则，A → AB，藻子长大了：

AB

又一个生命周期后，它变成了这样，其中最后面的A是由规则B → A而来：

ABA

慢慢的，慢慢的

ABAAB
ABAABABA
ABAABABAABAAB
ABAABABAABAABABAABABA
ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB

藻子七周岁了。如果你仔细数一数藻子每一岁的长度，会发现它是一个斐波那契数。

但是这一串枯燥的文字怎么和植物联系起来呢。是的，我们还需要一个渲染引擎，将变量与常量赋予特定的动作，这样根据最后的迭代结果，我们就可以从头到尾把它画出来了。

¶二叉树

另一个例子是二叉树：

变量: ,1; 常量[,]; 公理:; 规则：

• 1 → 11
• 0 → 1[

我们略过分析直接看生长过程：

0
1[0]0
11[1[0]0]1[0]0
1111[11[1[0]0]1[0]0]11[1[0]0]1[0]0
…

现在，为了把它画出来，我们给每个符号定义动作：

• 0 绘制一条直线，为叶子；
• 1 绘制一条直线，为枝干；
• [ 将当前的画笔位置和角度入栈，并左转45度；
• ] 将画笔位置出栈（恢复上次的状态），并右转45度；

于是我们把可以把这棵二叉树3周岁的样子画出来了！

理解了这些概念后，想要绘制更加复杂的分形就是小菜一叠了，有兴趣的话可以Google一下用 L-System 创造的各种艺术图形吧！